Comment un magicien-mathématicien a découvert une faille dans le casino
Pour étudier à fond les mélanges de fusils, Diaconis a utilisé un puissant outil mathématique appelé chaîne de Markov.
“Une chaîne de Markov est une action répétée dans laquelle le résultat dépend uniquement de l’état actuel et non de la façon dont cet état a été atteint”, explique Sami Hayes Assaf, mathématicien à l’Université de Californie du Sud. Cela signifie que les chaînes de Markov n’ont aucune “mémoire” de ce qui s’est passé avant. C’est un assez bon modèle pour mélanger les cartes, dit Assaf. Le résultat du septième mélange dépend uniquement de l’ordre des cartes après le sixième mélange, et non de la manière dont le jeu a été mélangé les cinq fois précédentes.
Les chaînes de Markov sont largement utilisées en statistique et en informatique pour traiter des séquences d’événements aléatoires, qu’il s’agisse de battre des cartes ou d’atomes vibrants ou de fluctuations des cours des actions. Dans chaque cas, “l’état” futur – l’ordre du pneu, l’énergie d’un atome, la valeur d’une action – ne dépend que de ce qui se passe maintenant, pas de ce qui s’est passé avant.
Malgré sa simplicité, les chaînes de Markov peuvent être utilisées pour faire des prédictions sur la probabilité de certains événements après de nombreuses itérations. L’algorithme PageRank de Google, qui classe les sites Web dans les résultats des moteurs de recherche, est basé sur une chaîne de Markov qui modélise le comportement de milliards d’internautes qui cliquent au hasard sur des liens Web.
En collaboration avec Dave Bayer, un mathématicien de l’Université de Columbia à New York, Diaconis a montré que la chaîne de Markov décrivant les mélanges de fusils a une transition nette d’ordonnée à aléatoire après sept mélanges. Ce comportement, connu des mathématiciens comme un phénomène de coupure, est une caractéristique commune des problèmes impliquant le mélange. Pensez à remuer la crème dans le café : lorsque vous remuez, la crème forme de fines traînées blanches dans le café noir avant de se mélanger soudainement et de manière irréversible.
Savoir de quel côté du cutoff se trouve un deck – s’il est correctement mélangé ou s’il a encore un souvenir de son ordre d’origine – donne aux joueurs un net avantage contre la maison.
Dans les années 1990, un groupe d’étudiants de Harvard et du MIT ont réussi à battre les cotes en jouant au blackjack dans les casinos des États-Unis en utilisant le comptage des cartes et d’autres méthodes pour détecter si le jeu était correctement mélangé. Les casinos ont réagi en introduisant des machines de mélange plus sophistiquées, en mélangeant le jeu avant qu’il n’ait fini de jouer, ainsi qu’en augmentant la surveillance des joueurs. Mais il est encore rare de voir un jeu mélangé de la machine sept fois dans un casino.
Les dirigeants de casino n’ont peut-être pas prêté beaucoup d’attention à Diaconis et à ses recherches, mais il continue d’avoir une énorme influence sur les mathématiciens, les statisticiens et les informaticiens qui étudient le hasard. Lors d’une conférence tenue à Stanford en janvier 2020 pour honorer le 75e anniversaire de Diaconi, des collègues du monde entier ont donné des conférences sur les mathématiques de la classification génétique, sur la façon dont les céréales s’empilent dans une boîte à shaker et, bien sûr, sur le brassage.
Diaconis ne se soucie pas beaucoup du jeu lui-même – il dit qu’il existe des moyens meilleurs et plus intéressants de gagner sa vie. Mais il n’en veut pas aux joueurs qui essaient d’obtenir un avantage en utilisant leur cerveau.
“Penser n’est pas tricher”, dit-il. “Penser, c’est penser.”
* Shane Keating est un écrivain scientifique et pMaître de conférences en mathématiques et océanographie à l’Université de Nouvelle-Galles du Sud, Sydney
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